La tache d'Airy ou le disque d'Airy

Le disque d'Airy. Le relief de l'image de gauche est artificiel mais très révélateur.

Afin de mieux montrer les anneaux, ces diagrammes indiquent l'amplitude et non l'énergie.

Vue longitudinale des environs du plan focal illuminé selon un angle d'ouverture sur l'axe de 30°.

Sauf erreur, personne n'était encore parvenu à réaliser une animation semblable.

Un nouveau programme.

Je suis très fier d'avoir réussi à mettre au point un nouvel algorithme capable de calculer l'ensemble de l'ellipsoïde d'Airy à une vitesse bien plus grande qu'avec mes précédents programmes.

Le programme est disponible sous le nom de Ether16.bas dans ma suite sur l'éther, que vous pouvez télécharger en cliquant sur les liens suivants :

http://www.glafreniere.com/programmes/Ether16.exe

http://www.glafreniere.com/programmes/Ether16.bas

Le diagramme complet de toute la région du plan focal sera achevé en quelques secondes. Vous pourrez alors déplacer le curseur avec la souris pour obtenir instantanément l'aspect de la tache d'Airy pour différentes distances du plan focal. Ce programme montre clairement que ce fameux disque n'a pas seulement un diamètre, mais aussi une longueur qui vaut sensiblement le double du carré de ce diamètre. Mais les formules du programme montrent que ce n'est pas tout à fait exact, comme on le verra plus loin.

De plus, les phases varient d'une manière vraiment surprenante le long de l'axe, et j'ai d'ailleurs retrouvé un phénomène identique dans le rayonnement du champ de force électrostatique. J'affirme que c'est ce phénomène qui explique l'effet de répulsion ou d'attraction entre électrons et positrons.

La matière est faite d'ondes.

Ce site montre que l'éther existe et que la matière est faite d'ondes. L'électron ne serait rien d'autre qu'un oscillateur fait d'ondes stationnaires sphériques. Normalement un tel système ne se déplace pas, mais on peut montrer que l'électron le peut s'il subit l'effet Doppler :

Les photons n'existent pas.

Les électrons rayonnent continuellement des ondes en utilisant l'énergie des ondes qui circulent dans l'éther et qui les traversent. Ces ondes ne sont pas perceptibles normalement, mais elles le deviennent si les électrons sont déséquilibrés.

D'autre part on sait que les électrons sont présents dans un atome par paires, un de chaque spin, conformément au principe d'exclusion de Pauli. La page sur la lumière montre que les électrons réagissent différemment à un rayonnement selon leur spin. Ils émettent aussi leurs ondes selon un diagramme de rayonnement très particulier qui présente des zones alternativement en phase et en opposition de phase, ces zones oscillant en rotation ou sur un seul plan. C'est ce qui explique que la lumière peut être polarisée, mais pas nécessairement.

Et enfin, les électrons vibrent tous selon une fréquence et une amplitude constantes, ce qui permet d'expliquer la constante de Planck. Au contraire la fréquence de la lumière est beaucoup plus basse et elle dépend des oscillations des électrons, qui se comportent un peu comme des pendules de Huygens autour du noyau d'un atome. Un pendule étant synchrone, la lumière émise par un électron positionné sur une couche atomique donnée possède une fréquence invariable qui justifie les raies spectrales. Contrairement au son qui se propage dans l'air, les ondes de la lumière ont donc une structure « composite » relativement complexe.

Disons-le clairement : les photons n'existent pas. Cette affirmation risque de vous choquer, mais sachez que ces pages en font la preuve.

Le disque d'Airy est un phénomène ondulatoire.

Ici, il sera tout simplement question du disque d'Airy, et bien sûr cette figure de diffraction sera traitée en postulant qu'il s'agit purement et simplement d'un phénomène ondulatoire. D'ailleurs personne n'y a jamais vu la moindre trace d'un photon.

Voici comment on peut représenter l'intensité de la lumière à l'intérieur du disque central et de ses trois premiers anneaux :

Le diagramme supérieur gauche montre que le premier anneau est en opposition de phase sur le disque central, comme d'ailleurs tous ceux de rang impair. Celui du dessous ne tient pas compte de la période. C'est l'astronome sir George Biddell Airy qui a réussi le premier à calculer le diamètre exact de ce disque, là où se situe le premier zéro d'amplitude. On parlera donc dans ces pages du « chiffre d'Airy », qui vaut 2,44 ou encore 1,22 en termes de rayon.

Le diagramme de droite montre l'énergie, c'est à dire la luminosité relative de la « tache » d'Airy jusqu'au troisième anneau. Il y en a beaucoup d'autres. Cette énergie est évidemment toujours positive, car selon une loi énoncée par Augustin Fresnel elle vaut le carré de l'amplitude. La lumière est répartie de manière décroissante. Le disque central : 83,778 %. Le premier anneau : 7,215 %. Le deuxième : 2,77 %, etc.

Le diamètre du disque d'Airy dépend de l'angle d'ouverture d'un faisceau de rayons lumineux. Il dépend donc de la focale F comparée au diamètre D de l'ouverture lumineuse, qui doit être uniformément éclairée. Il dépend aussi de la longueur d'onde l, celle de la couleur la plus visible (le vert lime) valant 0,00055 mm. On a :

Diamètre du disque d'Airy : 2,44 l F / D

Par exemple, un objectif ƒ/ 8 dont le diamètre D vaut 100 mm et dont la focale F vaut 800 mm produit un disque d'Airy de 0,01 mm environ pour le vert. Le rayon angulaire dépend de la longueur d'onde l et du diamètre D. Peu d'auteurs mentionnent que ce phénomène s'applique à toutes les ondes sans exceptions, y compris le son :

Rayon angulaire en radians : 1,22 l / D

Cette formule est inexacte.

Le diamètre de la tache d'Airy (aux points d'amplitude zéro) vaut exactement une longueur d'onde pour un angle d'ouverture égal ou supérieur à 90°, ce qui montre bien que la formule de sir Airy est inexacte.

Il faut donc chercher une formule qui soit capable de concilier tous les angles. Il suffit d'examiner attentivement l'animation montrée en début de page pour constater que l'angle d'ouverture y transparaît nettement, particulièrement aux environs du plan focal, là où se forment les anneaux. Cet angle d'ouverture « fantôme » détermine donc au moins approximativement le diamètre de ce disque.

L'angle d'ouverture q est l'angle du faisceau conique lumineux (la caustique) rapporté à l'axe central, et il s'agit donc du demi-angle comparativement à celui du cône lumineux dans son entier. On considérera dans cette page que la longueur d'onde l vaut 0,00055 mm, soit celle de la lumière la plus visible (vert lime).

Ne serait-ce que d'un point de vue strictement géométrique, on présume ainsi que le diamètre du disque d'Airy devrait valoir :

D = l / sin q

Or c'est effectivement la mesure de la tache asymétrique produite par une ouverture carrée. C'est aussi la largeur de la bande lumineuse produite par une fente de largeur D. Toutefois sir Airy a montré qu'il faut appliquer un terme correcteur dans le cas d'une ouverture circulaire. De plus on verra plus loin qu'on peut avantageusement utiliser l'angle q de manière à éviter le piège du diamètre comparé à la focale :

D = 1,22 l / sin q

Par exemple, une ouverture relative de ƒ / 8 correspond à : q = arc tan(0,5 / 8) = 3,576° et la formule donne un disque d'Airy de 0,01 mm comme on l'a vu plus haut. Exprimé en longueurs d'onde, le diamètre du disque d'Airy vaudrait donc plus simplement :

D = 1,22 / sin q

Une formule plus précise.

Toutefois on remarque que la constante 1,22 de sir Airy n'est plus conforme aux résultats expérimentaux ni au calcul selon le principe de Huygens si l'angle d'ouverture devient important. Il faut alors appliquer un deuxième terme correcteur de manière à neutraliser peu à peu la différence entre 1,22 et 1. Si vous avez téléchargé mon programme Ether16.bas, vous constaterez que les formules utilisées dans le code source fonctionnent correctement pour tous les angles d'ouverture jusqu'à 90°:

Petit diamètre : D = l (1.22 - .22 * Sin q ) / Sin q

Grand rayon de l'ellipsoïde : R = 2 l (1 / Sin q) ^ 2 - l Sin q

Par exemple, un angle d'ouverture de 10° (soit ƒ/ 2,8) conduit à une tache dont le diamètre vaut 6,8 fois la longueur d'onde, et le grand rayon de l'ellipsoïde vaut 66 fois la longueur d'onde. En lumière verte, une telle ouverture exige donc une précision de 0,036 mm pour une mise au point parfaite. Il en ressort aussi que pour une ouverture relative de ƒ/ 0, soit pour un angle de 90° ou plus, le diamètre de la tache d'Airy fait exactement une longueur d'onde.

De plus, mon programme montre clairement que pour un angle complet de 180° (ou 360° bilatéral), ce qui correspond à une source émettrice sphérique complète, on obtient une tache d'Airy tout à fait particulière : l'équivalent d'un électron !

Le disque d'Airy à très grande ouverture.

Voici un tableau comparatif. Il s'agit de vérifier que la formule corrigée permet d'obtenir une plus grande précision si l'angle est très ouvert. Le diamètre du disque d'Airy est donné en longueurs d'onde, et il faudrait donc le multiplier par la longueur d'onde 0,00055 pour l'obtenir en millimètres :

Le programme qui a produit les diagrammes montrés dans cette page utilise le principe de Huygens. Les résultats compilés ci-dessus selon l'ordinateur sont précis à trois décimales près, du moins si l'on en juge par celui que l'ordinateur a calculé (on prévoyait évidemment une longueur d'onde exactement) dans le cas d'un demi-angle de 90°. On note qu'ils ne correspondent pas tout à fait à ceux prévus par la formule suggérée, mais la différence est minime.

Il faut donc retenir que si l'angle est très ouvert, la constante 1,22 de sir Airy se rapproche de l'unité. Elle n'est donc pas vraiment constante.

Le contraste d'un objectif très ouvert est mauvais.

Ci-dessous, on a superposé deux courbes du disque d'Airy pour des angles d'ouverture de 90° (en rouge) et de 10° (en vert). Elles ont été calibrées de manière à ce que le premier zéro d'amplitude coïncide. Cette méthode permet de comparer l'amplitude relative des anneaux.

On constate que l'amplitude devient négligeable au-delà du sixième anneau si l'angle est faible (10° ou moins). Toutefois, si l'angle atteint 90°, l'amplitude des anneaux diminue beaucoup moins radicalement, soit en proportion de leur distance :

Ci-dessus, on a juxtaposé les lobes du disque d'Airy selon ƒ/ 1 ou 26,6° (en rouge) comparés à ceux du disque présumé idéal à ƒ/ 28 ou 1°, représentés en vert. On remarque une légère détérioration d'environ 10% en énergie, ce qui est significatif. Cette détérioration augmente de manière exponentielle par la suite, ce qui permet d'en conclure que le contraste d'une image obtenue avec une lentille très lumineuse ƒ / 0,7 ou 0,5 est très mauvais. Le disque d'Airy mesure alors moins de 0,001 mm alors que le film ne pouvait enregistrer autrefois que 0,025 mm. Jusqu'à récemment, ce problème ne se posait donc pas.

Toutefois les nouvelles caméras électroniques atteindront sans doute bientôt une telle précision, et alors il faudra refaire les tests en ce sens.

Sauf erreur il faudra donc éviter d'utiliser des lentilles trop lumineuses. D'ailleurs on montre ci-dessous que le disque d'Airy a une longueur, et que celle-ci approche de la longueur d'onde à grande ouverture, ce qui rend la mise au point exacte pratiquement impossible. On en conclut que la limite minimum raisonnable d'un pixel en lumière visible se situe aux environs de 0,001 mm. Même s'il était possible un jour d'être plus précis, ce ne serait pas souhaitable.

Un diagramme longitudinal.

On a vu plus haut que selon l'ordinateur le diamètre du disque d'Airy vaut une longueur d'onde exactement si l'angle d'ouverture correspond à une demi-sphère. C'est d'ailleurs en utilisant le même algorithme que l'ordinateur a produit le diagramme longitudinal suivant :

Vue longitudinale de « l'ellipsoïde d'Airy » selon un angle d'ouverture de 90° ou ƒ/ 0.

Il faut comparer ce diagramme avec ceux qui ont été montrés au début de cette page, et dont l'angle était de 30°. Puisque ici l'angle d'ouverture total vaut 90°, chacun des anneaux contient exactement la même quantité d'énergie. Le disque n'est pas encore sphérique, ce point n'étant atteint que pour une illumination sphérique intégrale (180° sur l'axe ou 360° bilatéral). Parce qu'on a 1 l seulement et non pas 1,22 l / D, la luminosité du disque central est plus intense toutes proportions gardées.

Cette situation est intéressante, car on peut observer que la vitesse de l'onde centrale au moment où elle traverse le centre de courbure vaut deux fois la vitesse normale des ondes. Il en résulte une inversion de phase qui permet d'expliquer pourquoi le noyau central de l'électron vaut une onde entière, et non pas la demi-onde classique des ondes stationnaires.

Si l'angle d'ouverture passe de 90° à 180° on obtient plutôt des ondes stationnaires parfaitement sphériques et concentriques. Comme on le verra plus loin, le diagramme est alors le même que celui d'un électron au repos, avec une symétrie radiale tous azimuts.

L'ordinateur fonctionnant à 1,7 GHz avait mis deux heures pour produire chacune des 20 images qui composent l'animation montrée ci-dessus. Il s'agissait d'additionner des milliers d'ondelettes de Huygens comme c'est le cas pour établir la courbe habituelle du disque d'Airy. Toutefois, la symétrie radiale étant brisée dans le cas d'une vue longitudinale, il fallait refaire le calcul pixel par pixel. Toutefois, mon nouveau programme Ether16 ne met que quelques secondes pour achever le même diagramme.

Le « cigare d'Airy ».

L'ordinateur peut aussi montrer les variations longitudinales de l'amplitude selon différents angles d'ouvertures, entre 180° et 15°. Noter que 180° rapportés à l'axe correspond à une illumination sur une sphère complète. Le disque d'Airy, dans son espace réel en trois dimensions, affecte en réalité la forme d'un cigare. C'est plus exactement un ellipsoïde de révolution allongé qui se termine de part et d'autre par une zone où l'intensité des ondes est nulle :

Répétons qu'il s'agit d'une vue longitudinale, qui est rarement, sinon jamais montrée. Le plan comprend l'axe optique. La ligne verticale noire représente le plan focal. Les deux lignes en grisé de part et d'autre de l'axe indiquent une longueur d'onde exactement de manière à comparer les différents résultats.

On observe en premier lieu que pour un angle d'illumination complet de 180°, le disque d'Airy devient plutôt une « sphère d'Airy », dont le diamètre vaut une longueur d'onde exactement. D'un point de vue strictement ondulatoire, l'électron correspond à ce modèle.

L'ellipsoïde d'Airy possède donc une longueur L, et il est facile de l'obtenir à partir du diamètre D du disque, parce qu'elle correspond sensiblement à l'angle d'ouverture q comparé à 180° :

L = 180 D / q

Pour fixer les idées, la longueur de l'ellipsoïde vaut 10 fois sa largeur pour une ouverture relative de ƒ/ 1,4 et 20 fois sa largeur si l'on ferme à ƒ/ 2,8. Il est clair que la tolérance pour une mise au point idéale en photographie correspond à la moitié de cette valeur. Le premier « point noir » se situe en effet à la moitié de cette distance de part et d'autre du plan focal et le diagramme montre que c'est à coup sûr le pire endroit où situer la surface photosensible.

La tolérance pour une ouverture de ƒ/ 2 ou moins en lumière visible lors de la mise au point est donc incroyablement faible. Elle est de l'ordre d'un centième de millimètre. Les caméras électroniques actuelles n'atteignent pas la précision du disque d'Airy (0,0026 mm) à cette ouverture, mais ça viendra. Cela donne à penser qu'il vaudra toujours mieux s'en tenir à des ouvertures de ƒ/ 4 et même plus si la précision de l'image est capitale.

Même si le diamètre du disque d'Airy est inconnu, on peut quand même obtenir la longueur L de l'ellipsoïde d'Airy. Rappelons que l'angle thêta est l'angle sur l'axe, donc le demi-angle d'ouverture :

Longueur de l'ellipsoïde d'Airy : L = 4 l (1 / Sin q) ^ 2 - l Sin q

L'apodisation.

Si l'apodisation vous intéresse, allez à la page sur le sténopé. On y montre que cette méthode permet d'éliminer complètement les anneaux qui entourent le disque. Elle produit un seul disque contenant presque toute la lumière, mais elle est impraticable la plupart du temps. Le problème, c'est que ce disque est plus grand et qu'il faut augmenter le diamètre de l'ouverture pour compenser.

Toutefois, il faut éviter les conclusions hâtives. Tout indique en effet que cette méthode serait avantageuse dans le cas des petits objectifs sans obstruction et sans diaphragme à iris.

Un remise en question.

Dans le contexte de l'optique « délinquante », on peut montrer que certaines idées reçues pourraient être remises en question. C'est le cas par exemple de l'obstruction et de l'apodisation. Le phénomène de l'ombre qui se forme derrière un objet est particulièrement révélateur. Étonnamment, on peut en déduire que la lumière traverse les objets, ce que personne à ce jour ne semble avoir remarqué.

Mieux encore, l'électron présente des similitudes étonnantes avec le disque d'Airy, au point qu'on peut l'expliquer parfaitement de cette manière, aussi bien dans sa création que dans sa structure.

Un programme d'ordinateur.

De plus il existe une méthode, apparemment inconnue, qui permet de calculer ce phénomène sur ordinateur. Elle fait appel au principe de Huygens et non pas au calcul différentiel.

J'ai tenté à maintes reprises de contacter des opticiens à ce sujet, mais n'étant pas l'un des leurs, ils m'ont toujours traité avec le plus souverain mépris. Pourtant aucun d'eux à ma connaissance n'a réussi à produire des diagrammes et des animations comme celles qui figurent dans cette page. Et si c'était le cas, on peut dire que ces gens savent bien cacher leurs trouvailles. Il vous suffira de taper "disque d'Airy" ou "tache d'Airy" dans Google pour vous en convaincre.

Sauf erreur les vues longitudinales animées du disque d'Airy montrées ici seraient donc sans précédent.

Une première mondiale : les ondes sur ordinateur grâce à l'Éther Virtuel.

Les premières images obtenues par M. Philippe Delmotte au moyen de « l'Éther Virtuel », dont il est l'inventeur, constituent sans contredit une première mondiale. Et vous n'avez encore rien vu, car ce médium virtuel nous permettra surtout de montrer que la matière est bel et bien faite d'ondes exclusivement, comme je l'ai affirmé dès l'an 2000. D'une manière remarquable, tous les essais tentés jusqu'à maintenant indiquent que le principe de Huygens est exact. Nous n'avons jamais remarqué la moindre anomalie entre nos résultats et le calcul effectué à l'aide des ondelettes de Huygens.

La deuxième image ci-dessous représente le faisceau d'un laser (ou celui d'un sténopé). Le laser se trouve à gauche et le disque d'Airy en voie de formation se trouve à droite. On trouvera plus de détails à la page sur le sténopé. Ce diagramme n'est pas à l'échelle et devrait être au moins 100 fois plus long. Ainsi les zones sombres sont beaucoup plus allongées : ce sont des « tunnels noirs ». J'ai toutes les raisons de croire que les électrons sont captifs du noyau d'un atome à l'intérieur de tels tunnels. Remarquer les distances, qui suggèrent fortement la série de Balmer et les raies spectrales de l'hydrogène. Les 8 électrons périphériques d'un atome font exception parce que leur emplacement dépend plutôt du rayonnement des protons, qui se fait selon les huit sommets d'un cube.

En comparant les deux diagrammes suivants, on pourra constater que la structure du faisceau d'un laser présente des similitudes avec celui d'un télescope :

La structure du faisceau lumineux au foyer d'un télescope. On a ici ƒ/ 2, soit arc tan (0,5 / 2) = 14°.

La structure du faisceau lumineux d'un laser ou d'un sténopé : la diffraction de Fresnel, selon Huygens.

Une première : le diagramme d'une source linéaire extrêmement mince, dans l'Éther Virtuel de Philippe Delmotte.

Si vous êtes un opticien, prenez garde de rater le train ; ce médium virtuel est désormais incontournable.

Tous vos beaux calculs et vos belles équations ne vous seront plus d'aucune utilité.

Seul un médium réel ou virtuel peut véritablement montrer comment ces phénomènes se produisent.

À gauche, la diffraction de Fresnel sous les transformations de Lorentz (voir mon Scanner du Temps).

Philippe Delmotte a synchronisé les sources en fonction du temps local découvert par Henri Poincaré.

Autrement, on obtiendrait le sillage classique d'un bateau qui fend l'eau, comme on le montre à droite.

Cela permet d'obtenir des ondes inclinées selon l'angle thêta, et qui demeurent dans l'axe perpendiculaire.

Ainsi, la structure de la diffraction de Fresnel demeure invariante quelle que soit la vitesse de la source.

Voila donc une autre preuve que la Relativité est exacte, mais que c'est celle de Lorentz et de Poincaré.

Il y a une 2e page sur le disque d'Airy. Veuillez cliquer sur « page suivante ».

q	Ouverture ƒ	Selon l'ordinateur	1,22 / sin q	1,22 / sin q – 0,22 (1 – cos q)	Constante
10°	ƒ / 2,836	7,0092	7,026	7,011	1,217
15°	ƒ / 1,866	4,6904	4,714	4,706	1,214
20°	ƒ / 1,374	3,5364	3,567	3,554	1,21
30°	ƒ / 0,866	2,3935	2,44	2,411	1,197
45°	ƒ / 0,5	1,6514	1,725	1,661	1,168
60°	ƒ / 0,289	1,3004	1,409	1,299	1,126
90°	ƒ / 0	1	1,22	1	1